题目描述

一个整型数组 $nums$ 里除两个数字之外，其他数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。

示例 1：

输入：nums = [4,1,4,6]
输出：[1,6] 或 [6,1]

示例 2：

输入：nums = [1,2,10,4,1,4,3,3]
输出：[2,10] 或 [10,2]

限制：

• $2 <= nums.length <= 10000$

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算法

(位运算,异或) $O(n)$

首先我们知道求数组中只出现一次的一个数字的求法，因为除了这个数其他数都出现了两次，所以将所有数异或起来的结果就是答案。

这道题目要求的是只出现一次的两个数字，我们需要想办法把它拆解成第一类问题

假设两个数字为 $x、y$

1. 先将所有数异或起来的结果记为 sum = x ^ y，因为其他数字都出现两次，它们异或的结果是 $0$
2. 由于 x != y 则 $x$ 和 $y$ 不全为 $0$，所以 $sum$ 必不为 $0$，那么 $sum$ 的二进制表示中肯定有 $1$，且对于为 $1$ 位，$x$ 和 $y$ 必然其中一个为 $1$，另一个为 $0$，否则异或的结果当前位不可能为 $1$，按照 $sum$ 的二进制表示中最后一个 $1$（假设是第 k 位） 所有数划分为两个集合，一个集合中第 $k$ 位全为 $1$，另一个集合中第 $k$ 位全为 $0$，且 $x$ 和 $y$ 不在同一个集合
3. 此时问题就转换成了求两个「数组中只出现一次的一个数字」，对两个集合分别异或起来，得到的就是 $x$ 和 $y$

   优化：只求一个集合的异或结果可以得到一个数 $first (= x / y)$，而已知 sum = x ^ y，则 $first$ ^ $sum$ 就是另一个数

时间复杂度

考虑最长时间就是遍历数组所花费的时间，时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

$O(1)$

C++ 代码

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumbers(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;
        for (auto x : nums) sum ^= x;
        int t = sum & -sum; // t 表示 sum 的最后一个表示的二进制数，比如 100100，结果就是 100
        int first = 0;
        for (auto x : nums)
            if (x & t) // 如果是 1，则分到和 first 一组
                first ^= x;
        return {first, sum ^ first};
    }
};